Окончил Московское музыкальное училище им. Гнесиных в 1968 и Государственный музыкально-педагогический институт им. Гнесиных в 1973. С 1973 преподавал в Воронежской государственной академии искусств, где стал профессором в 1992. Стал солистом Воронежской филармонии в 1978.

Александр, по его собственным подсчётам, сыграл более 4100 сольных концертов. Выступал в концертном зале Карнеги-холл, часто гастролирует с баяном по Франции — и всё это с баяном «АККО».

По оценкам музыкальных критиков, в его исполнительском искусстве присутствует живая разговорная интонация. Скляров любит старинную музыку, при этом уточняет: «Моцарта могу играть на протяжении четырёх часов! Столько произведений Вольфганга Амадея входит сейчас в мои программы (естественно, в переложении для баяна)».